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松の物理学勉強帳

実験で理学修士取得後、16年のブランクを経て再び書を手に取った筆者の物理学学習メモ。素粒子に向かっています。初学者の助けになればいいなと思います。また、ツッコミお待ちしております。

2.1 古典力学の運動法則(1)

ここはサクッと行きます。質点の運動です。座標は\(q\)で表します。

ニュートン運動方程式

$$m\frac{d^2q_i}{dt^2} = F_i ~~~~~~~~~~ (i=1,2,3) ~~~~~~~ (2.1)$$

位置エネルギー(ポテンシャル)\(V(q)\)を用いて\(F_i(q)\)を表すと

$$F_i({\bf q}) = -\frac{{\partial V}}{{\partial q_i}}~~~~~~~~~~~~~~~(i=1,2,3)~~~~~~~~(2.3)$$

となる。

質点の運動量\(p\)とエネルギー\(E\)は次で与えられる。

$${\bf p} = m\frac{d{\bf q}}{dt}~~~~~~~~~~~~~~~(2.5)$$

$$E = \frac{m}{2}(\frac{d{\bf q}}{dt})^2 + V({\bf q})~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.6)$$

\((2.6)\)から、\(E\)が\(t\)によらない、エネルギー保存則を導くことができるんだけど、ここではやらない。\((2.6)\)をいじり回したらエネルギー保存則(\(\frac{\partial E}{\partial t}= 0\))が得られるということを知っておけばいい。

補足として、微分の二乗は

$$(\frac{d{\bf q}}{dt})^2 = (\frac{ \mathrm{d}q_1}{dt})^2 + (\frac{ \mathrm{d}q_2}{dt})^2 + (\frac{ \mathrm{d}q_3}{dt})^2$$

ということ。

ちょっと短いけど、ここまででいったん区切り。次はハミルトン形式について。