ハミルトン形式の運動の記述
$${\bf \dot{p}} = {\bf F}({\bf q})~~~~~~~~~~~~(2.7)-1$$
とすると、
$${\bf \dot{q}} = \frac{\bf p}{m}~~~~~~~~~~~~(2.7)-2$$
となる。(2.7)-2は、運動量の定義式となる。
エネルギーを\(p\)と\(q\)で表したものをハミルトニアンという。ハミルトニアンによって、系の性質が決まる（ポテンシャルの形とか、そういった情報がハミルトニアンには入っている）。今の場合だと
$$H=\frac{{\bf p}^2}{2m} + V({\bf q})~~~~~~~~~~~(2.8)$$
これ\(p,q\)でそれぞれ偏微分すると、ハミルトン方程式\((2.9)\)が得られる。
$${\bf \dot{q}} = \frac{\partial H}{\partial {\bf p}},~~~~~~{\bf \dot{p}} = (-\frac{\partial V}{\partial {\bf q}}) = -\frac{\partial H}{\partial {\bf q}}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.9)$$
多体系にもこれは使えて、一般化座標と運動量を\(q_i, p_i\)と書くと、
$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},~~~~~~~~\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}~~~~~~~~~~(2.10)$$
を解けばいい。要は、物体１の\(x\)座標と\(x\)方向の運動量を求めたければ、\(q_i=x, p_i=p_x\)として解いてやればいいわけです。
ここで、座標と運動量を\(q, p\)で系を表してきましたが、これをいじって、\(q\)と\(p\)の関数である\(Q(q,p), P(q,p)\)で系を表そうとしたらどうなるか考えます。簡単のため、これからしばらくは、物体は１個、一次元、すなわち一個の質点がx軸上のみを動く場合を考えます。このとき、もちろん\(H\)の形式も変わって、\(H'\)みたいになる。この\(H'\)と\(Q,P\)で
$$\dot{Q} = \frac{\partial H'}{\partial P}, ~~~~~~~~~~~\dot{P} = -\frac{\partial H'}{\partial Q}$$
と表せる場合、これは同じ物理系を扱っていることになります。このような変数\(Q,P\)を正準変数と呼び、このような\((q,p)→(Q,P)\)の変換を正準変換といいます。このPCは真っ先に「清純変換」と変換しやがりました。
とはいえ、どんな座標変換も正準変換になるわけじゃありません。正準変換になるための条件があります。それは、ヤコビアンが1になること。
$$\left\{A,B\right\}_{q,p} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}~~~~~~~~~~~~~~~(2.11)$$
を定義した場合の
$$\left\{Q,P\right\}_{q,p}~~~~~~~~~~~~~~~~(2.14)$$
のことです。すなわち
$$\frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q}$$
です。たとえば、物体の座標の原点が、ある速さ\(v\)で動いている系に変換したとすると、
$$Q=q-v, ~~~~P=p-mv (mは物体の質量)$$
みたいな感じで書けるわけですが、このときのヤコビアンは
$$\frac{\partial Q}{\partial q} = 1,~~~\frac{\partial P}{\partial p} = 1$$
$$\frac{\partial Q}{\partial p} = 0,~~~\frac{\partial P}{\partial q} = 0$$
から、1となることが分かります。よって、座標の原点が等速直線運動をしている系に座標変換したとしても、同じ物理系を扱っていることになるわけです。
あと、ポアソン括弧式で重要なのは、ある物理量とハミルトニアンとのポアソン括弧式は、その物理量の時間変化に等しいこと。
次回は、ヤコビアンが１なら本当に\(Q,P\)が正準変数になるのかというのを確かめてみたいと思います。
この本を読んでいる人が、ここら辺の説明を必要としているのか非常に疑問だけど、自分用のメモとして、あとLaTeXの練習として（笑）、次また書きます。
